“ Figuren die worden gekenmerkt door een vijfvoudige of tienvoudige symmetrie ”

Een wiskundige analyse, © Hans Bär, Amsterdam, februari 2004

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

In dit soort figuren zijn steeds vijf afzonderlijke richtingen te onderscheiden - ten opzichte van elkaar

verdraaid over een hoek van telkens 72^o - ten opzichte waarvan er sprake is van spiegelsymmetrie.

Een en ander impliceert dat er dan tevens sprake moet zijn van draaisymmetrie, in dit geval om

precies één punt, het middelpunt. In geen van deze figuren is er sprake van schuifsymmetrie.

In elk van deze vijf richtingen vind je een as, waarlangs “mogelijke waarden” kunnen worden uitgezet

waarvoor rasterpunten kunnen bestaan. Iets exacter geformuleerd bedoel ik daar het volgende mee:

Een rasterpunt met geldige coördinaten { x ; y } heeft als eigenschap, dat bij projectie op élk van
de vijf assen een “geldige waarde” voor de afstand d moet gelden gemeten vanaf het middelpunt
van de figuur, óf vanaf een punt op die as op een zekere vaste afstand D vanaf dat middelpunt.

Geldige waarden zijn van de vorm: d = a * F + b waarin: F = 0,5 * [ Sqr( 5 ) + 1 ] = 1,618034

Hierin zijn a en b steeds gehele getallen, die moeten voldoen aan de restrictie: | a – b * F | < 1.

Voor elke waarde van b vind je dan precies twee waarden voor a behalve als a = b = 0 !!

Dit levert een heel bekend patroon op voor de getallenparen a en b , eenzelfde patroon
zoals dat is te herkennen in de celordening langs de contour in het zonnebloemmotief.

Is de waarde D gelijk aan nul, dan is er klaarblijkelijk sprake van een tienvoudige symmetrie:

Behalve spiegel- & draaisymmetrie is hier tevens sprake van puntsymmetrie t.o.v. het middelpunt.

Immers, als de indices a( i ) en b( i ) alle van teken wisselen, dan zijn ook dat geldige waarden.

Omdat dit het enige punt is ten opzichte waarvan de figuur symmetrisch is, is er ook nu dus geen

sprake van schuifsymmetrie. Voorbeelden hiervan zijn de volgende figuren (raster 1 en 2) :

Penrose raster 1 : 117k 40k Penrose raster 2 : 205k 48k

Is D daarentegen niet gelijk aan nul, dan is er hooguit sprake van vijfvoudige spiegelsymmetrie :

Penrose raster 3 : 143k 46k Penrose raster 4 : 231k 52k

Je vindt de waarden d( i ) resp. de indices a( i ) en b( i ) voor ( i = 0 t/m 4 ) als volgt:

d ( i ) = { x ; y } · { Sin( i * 72^o) ; Cos( i * 72^o) } + D ( inwendig vectorproduct ! )

Dankzij: ( 1 / F ) = ( F – 1 ) = j ( zie de beschrijving van de Gulden Snede in deel 1 )

en de eigenschappen:

Cos(36^o) = 0.5 * F

Cos(72^o) = Sin(18^o) = 0.5 / F = 0.5 * j

Sin(72^o) = Cos(18^o) = F * Sin(36^o)

kun je de vectoren { Sin( i * 72^o) ; Cos( i * 72^o) } als volgt schrijven:

voor i = 0 : { 0 ; 1 }

voor i = 1 : { + F * Sin(36^o) ; + 0.5 * j }

voor i = 2 : { + Sin(36^o) ; – 0.5 * F }

voor i = 3 : { – Sin(36^o) ; – 0.5 * F }

voor i = 4 : { – F * Sin(36^o) ; + 0.5 * j }

Dit zijn exact de coördinaten van de hoekpunten van een vijfhoek.

Hier valt direct uit af te leiden - uitgaande van geldige waarden voor d( 0 ) en d( 1 ) -

en met D van de vorm: D = ( A * F + B ) / wortel( 5 ) , waarin bovendien de getallen

A = F( n+1 ) en B = F( n ) opeenvolgende getallen zijn uit de reeks van Fibonacci :

d( 2 ) = d( 1 ) * j – d( 0 ) + ( A + B * j )

d( 3 ) = – d( 1 ) * j – d( 0 ) * j + ( A * F + B )

d( 4 ) = d( 0 ) * j – d( 1 ) + ( A + B * j )

Hieruit volgen dan voor de bijbehorende indices a( i ) en b( i ) de gehele waarden:

a( 2 ) = b( 1 ) – a( 0 ) + ( B )

b( 2 ) = a( 1 ) – b( 1 ) – b( 0 ) + ( A – B )

a( 3 ) = – b( 0 ) – b( 1 ) + ( A )

b( 3 ) = b( 0 ) + b( 1 ) – a( 0 ) – a( 1 ) + ( B )

a( 4 ) = b( 0 ) – a( 1 ) + ( B )

b( 4 ) = a( 0 ) – b( 0 ) – b( 1 ) + ( A – B )

met hiervoor nog de drie aanvullende restricties: | a( i ) – b( i ) * F | < 1 voor ( i = 2 t/m 4 )

Mits aan alle restricties is voldaan geldt voor de coördinaten ( x , y ) van het betreffende rasterpunt:

y = [ d( 0 ) – D ]

x = [ d( 1 ) – D – y * Sin(18^o) ] / Cos(18^o)

In de verschillende rasters kun je nu verder nog al die punten met elkaar verbinden, die liggen

op een vaste onderlinge afstand L met:

L = ( F + 1 ) / Sin(36^o)

Dit levert al met al erg fraaie en in ruimtelijke zin bijzonder suggestieve plaatjes op, genoemd naar

de wiskundige Roger Penrose. Zie hiervoor de bovenstaande tekeningen.

Penrose is overigens ook degene die heeft bedacht hoe je op basis van vijfvoudige symmetrie een

bijzonder tegelmotief (een zgn. “Penrose Tiling”) kunt ontwerpen, dat volledig is opgebouwd uit twee

typen ruitjes, de een met hoeken van 72 en 108 graden, de ander met hoeken van 36 en 144 graden.

Onderstaand een voorbeeld hiervan. In deze figuur voldoen de verschillende punten en lijnstukken

eveneens aan het hiervoor beschreven model. Feitelijk is het een afgeleide van de eerdere tekening.

Penrose figuur 1 : 96k 27k Penrose figuur 2 : 95k 27k Penrose figuur 3 : 116k 211k Penrose figuur 4 : 185k 206k Penrose figuur 5 : 433k 156k Penrose figuur 6 : 421k 153k Penrose figuur 7 : 144k 49k Penrose figuur 8 : 162k 71k

Om te laten zien hoe het maken van een dergelijke figuur precies in zijn werk gaat, is het handig om

de twee typen ruitjes, waaruit de figuur is opgebouwd, vooraf te voorzien van kleurmarkeringen.

Wanneer je nu een Penrose-tegelpatroon samenstelt, zorg er dan in ieder geval steeds voor dat de

verschillende kleuren in aangrenzende ruitjes – al dan niet van hetzelfde type – op elkaar aansluiten:

d.w.z. groen grenzend aan groen, oranje aan oranje, en rood aan rood.

Roger Penrose toonde tevens aan, dat het in principe mogelijk is om op deze wijze tegelpatronen te

ontwerpen, die geen enkele vorm van symmetrie meer vertonen. Maar dit even terzijde.

De beschreven methodiek met vijfvoudige symmetrie is op exact een zelfde wijze van toepassing

op rasters die zijn opgebouwd uit vijfhoekjes. Het basisprincipe is dan in feite precies hetzelfde.

Vijfhoek raster : 254k 91k

Om tekeningen zoals hiervoor te kunnen samenstellen volg ik zélf overigens een ietwat andere taktiek,

namelijk, door beginnend met een aantal basisruitjes rond het midden van de figuur, de steeds tot dan

toe getekende delen te spiegelen t.o.v. de vijf zijden van een denkbeeldige vijfhoek, die samenvalt met

die ruitjes die samen de ‘contour’ vormen. Deze contour-ruitjes hebben als eigenschap, dat tenminste

één hoekpunt ervan binnen een zekere afstand ligt van de werkzame ‘spiegel’. Het zijn déze ruitjes die

daarbij nu juist niet worden gespiegeld. Overigens is dit niet het hele verhaal, want naarmate het aantal

ruitjes toeneemt, zul je merken, dat bepaalde delen leeg blijven. Maar ook die zijn op te vullen door op

soortgelijke wijze al getekende delen te spiegelen. Het blijkt zowaar te werken en het levert werkelijk

fantastisch mooie en bijna surrealistische plaatjes op. Al met al een uiterst eenvoudige en effectieve

werkwijze voor het tekenen van zowel ‘Penrose Tilings’ als rasters die zijn opgebouwd uit vijfhoekjes.

Onderstaand zie je geïllustreerd hoe dit spiegelen zoal in zijn werk gaat.

Wanneer je een en ander bestudeert, dan kan het verband je eenvoudig niet ontgaan tussen dit soort

ruitjespatronen en uit vijfhoekjes bestaande rasters. Op internet vind je een aantal interessante en erg

mooie varianten op dit thema ( Google >> afbeeldingen >> Penrose tiling ). Beslist de moeite waard !

Vorige pagina : Overzicht : Naar boven : E-mail :