“ De Vijfhoek, het Pentagram & de Gulden Snede ” , © Hans Bär, 2004 - 2005

De regelmatige vijfhoek - of pentagonaal - is een figuur met vijf even lange zijden en even grote hoeken.

De 2^e vorm - het pentagram - bestaat uit een gesloten lijn die je in één doorlopende beweging kunt tekenen.

Door in een vijfhoek de tegenoverliggende hoekpunten langs zogenaamde diagonalen met elkaar te verbinden

krijg je zoals je ziet exact hetzelfde pentagram. Wel, over déze twee figuurtjes valt een hoop te vertellen.

De belangrijkste eigenschap is, dat er precies vijf lijnen zijn, ten opzichte waarvan je deze twee

figuurtjes kunt spiegelen. Teken bijvoorbeeld maar eens een verticale lijn door het bovenste hoekpunt.

Je ziet dan dat deze lijn beide figuren in twee delen snijdt die exact elkaars spiegelbeeld zijn. Deze lijn

staat loodrecht op de tegenoverliggende zijde van de vijfhoek én loodrecht op een van de diagonalen.

Men noemt dit spiegelsymmetrie. Met als direct gevolg dus dat elke diagonaal in deze vijfhoek evenwijdig

verloopt aan de tegenoverliggende zijde. En met dit gegeven zijn nu heel veel eigenschappen af te leiden.

Behalve van spiegelsymmetrie is er bovendien ook nog sprake van draaisymmetrie, d.w.z. : als je deze

twee figuren kantelt over een hoek van 72 graden, dan levert ook dat weer precies hetzelfde beeld op.

A.g.v. spiegelsymmetrie kun je in een vijfhoek met zijn diagonalen een vijftal ruiten onderscheiden.

Ik heb er hier als voorbeeld eentje getekend. Kijk nu eens goed naar de lengte van de vier zijden hiervan.

Omdat de tegenoverliggende zijden van het grijs gekleurde vlak evenwijdig lopen aan elkaar, en omdat twee

naburige zijden van dit vlak dezelfde lengte hebben - de zijden die behoren tot de omtrek van de vijfhoek -

zijn alle zijden van het grijs gekleurde vlak dan vanzelf even lang. Een dergelijke figuur noemt men een ruit.

Gevolg hiervan is, dat dan óók de twee lange zijden van de lichtgroen gekleurde driehoek even lang zijn.

Deze driehoek is dus gelijkbenig. En ook de twee basishoeken van deze driehoek zijn dan even groot.

In de eerste twee figuurtjes zie je nu een aantal driehoeken, die een en ander met elkaar gemeen hebben.

Omdat de getekende vijfhoek spiegelsymmetrisch is t.o.v. de verticale lijn door het bovenste hoekpunt,

zijn ook de kleine en grote lichtgroen gekleurde driehoek allebei symmetrisch en eveneens gelijkbenig,

precies zoals de middelgrote driehoek links. Kijk nu eens goed naar de twee rood gemerkte hoeken

in de linker en middelste figuur. Deze hoeken zijn namelijk even groot, en ook dat is weer het gevolg

van het gegeven dat diagonalen en hun tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar verlopen.

Omdat al deze driehoeken blijkbaar gelijkbenig zijn én een even grote tophoek hebben, zijn ook de

oranje gemerkte hoeken dan vanzelf even groot. De drie driehoeken hebben dus exact dezelfde vorm,

en men spreekt dan van ‘congruentie’. Bovendien zie je in de rechter figuur nog iets bijzonders:

Blijkbaar delen de twee diagonalen vanuit een hoekpunt naar de tegenover liggende hoekpunten de

bijbehorende hoek in precies drie even grote hoeken van elk 36 ^o, zoals ik zo dadelijk nog laat zien.

Wel, als driehoeken congruent zijn, dan houdt dat in dat de lengtes van de drie zijden zich in al deze

driehoeken op eenzelfde wijze tot elkaar verhouden ( hier: lengte korte zijde : lengte lange zijde )

Ik teken de drie driehoekjes even apart met verschillende kleurtjes voor de verschillende lengten.

Omdat deze driehoeken alle dezelfde vorm hebben, geldt dan voor de onderlinge lengteverhouding:

: = : = :

Deze lijnstukken hebben echter nog meer met elkaar gemeen. Ik gaf in het begin al aan, dat je

in de vijfhoek links een ruit kunt herkennen, en als je de zijden hiervan nu met elkaar vergelijkt

dan zie je dat de rood aangegeven zijde kan worden opgedeeld in een geel en oranje lijnstuk:

º +

Ook de diagonaal – met paars merkje - is op te splitsen in een oranje en rood stuk, dus is ook:

º +

Als je dit nu met elkaar combineert, dan zie je dat de lengtes van de zijden van al deze

driehoeken zich blijkbaar tot elkaar verhouden volgens de ‘Gulden Snede’ , en wel als volgt:

: = : [ + ] = ½ ( wortel(5) – 1 )

: = : [ + ] = ½ ( wortel(5) – 1 )

“ Het kleinste deel verhoudt zich tot het grootste deel als het grootste deel tot het geheel ”

Eigenlijk zie je hier nu twee keer eenzelfde vergelijking. Het is niet zo moeilijk om m.b.v. wat

algebra af te leiden dat de enige mogelijke waarde, waarvoor hieraan wordt voldaan, gelijk is aan:

½ ( wortel(5) – 1 ) » 0,618034, het getal van de Gulden Snede, aangegeven met het symbool j (phi).

Het omgekeerde - de verhouding “grootste deel staat tot kleinste deel” - is dan exact gelijk aan:

½ ( wortel(5) + 1 ) » 1,618034, en dit getal wordt aangegeven met de Griekse hoofdletter F (Phi).

Wat hierbij opvalt is, dat deze getallen twee bijzondere eigenschappen vertonen, namelijk:

F º 1 / j en tevens: F º 1 + j en dus is ook: j ² + j º 1

en dan volgt hieruit de verhouding : j ² : j = j : 1 = j : ( j ² + j )

overeenkomstig de definitie van de Gulden Snede, die ik zojuist heb gegeven.

Als je al de lengtes hierboven nu voor de aardigheid eens achter elkaar zet in een ‘reeks’, dan zie je

dat opeenvolgende elementen in deze reeks zich steeds tot elkaar verhouden volgens de Gulden Snede,

en bovendien is élk element in deze reeks dan ook steeds de som van de twee voorafgaande elementen.

- - - - , , , , , - - - -

Vooral dit laatste is wiskundig gezien erg interessant, het is namelijk een eigenschap die ook
tot uiting komt in de zogenaamde getallenreeksen van Fibonacci ( 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … ) en van

Lucas ( 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29 … ). Maar dit even terzijde, elders op deze site wordt uitgebreid

ingegaan op de betekenis hiervan, m.n. voor allerlei vormen in de natuur, zoals o.a. de zonnebloem.

In vervolg hierop het een en ander over de verschillende hoeken in de vijfhoek & het pentagram.

De twee gestippelde hoeken in dit plaatje zijn allebei even groot omdat ook hier weer

een diagonaal evenwijdig verloopt met de tegenoverliggende zijde van de vijfhoek.

Zoals je ziet is deze hoek hier precies twee keer zo groot als een rood gemerkte hoek.

Als gevolg van spiegelsymmetrie geldt dit dan natuurijk ook voor de hoek aan de linkerzijde.

Je ziet nu, dat vijf rood gemerkte hoeken samen een hoek van 180 ^o vormen, en dat houdt in

dat elke hoek afzonderlijk dan automatisch gelijk is aan 36 ^o. De oranje aangegeven hoeken

in de figuur hieronder zijn dan alle gelijk aan 72 ^o en de violet gemerkte hoeken aan 108 ^o,

immers zijn de drie hoeken van een driehoek samen gelijk aan 180 ^o, De som van de

vijf hoeken waar een vijfhoek uit is opgebouwd is dus exact gelijk aan 540 ^o.

Wel, hoe zit het nu precies met de hoogtelijn in een vijfhoek, en hoe vind je hiervan het middelpunt ?

Als je vanuit het bovenste hoekpunt een loodlijn tekent loodrecht op de tegenoverliggende zijde,

dan kan ook deze hoogtelijn in twee ongelijke lijnstukken worden opgedeeld volgens de ‘Gulden Snede’.

Dit volgt uit het gegeven dat de twee rechthoekige driehoeken in de figuur hieronder congruent zijn:

: [ + ] = : [ + ]

: = : [ + ] è : = : [ + ]

Teken je nog een extra hoogtelijn in, dan zie je dat het snijpunt van de twee hoogtelijnen

het middelpunt is van de vijfhoek en dus ook van het pentagram. De vraag is dan, hoe groot de

afstand is van dit middelpunt tot elk van de vijf zijden van de vijfhoek en de vijf hoekpunten.

Dit is iets lastiger, maar ik zal het wederom illustreren aan de hand van een paar tekeningetjes.

Om verwarring te voorkomen: ik gebruik hier nu wat andere kleurtjes dan in de figuren hierboven.

De driehoeken in het eerste plaatje zijn a.g.v. symmetrie exact elkaars spiegelbeeld.

De twee hoogtelijnen snijden elkaar zoals je ziet in twee delen, en wel als volgt:

is de afstand van het middelpunt tot elk van de vijf hoekpunten
is de afstand van het middelpunt tot elk van de vijf zijden
is hier de halve lengte van een zijde van de vijfhoek

De verticale lijn in het middelste plaatje deelt de bovenste hoek in precies twee even grote hoeken.

Behalve dat de getekende driehoeken alle rechthoekig zijn hebben ze dus ook nog eens eenzelfde

tophoek met elkaar gemeen en dat houdt kortom in dat al deze driehoeken congruent zijn.

Nu gaf ik zojuist al aan, dat dat inhoudt dat de lengtes van de zijden van deze driehoeken zich

dan op eenzelfde wijze tot elkaar verhouden. En dat is nog eens getekend in het rechter plaatje.

Van elk van de twee driehoeken verhoudt de schuine zijde zich tot de lange rechte zijde als :

: = : = [ wortel(5) – 1 ]

is de lengte van de zijde van de vijfhoek
is de lengte van een halve diagonaal

Deze verhouding is dus blijkbaar twee keer zo groot als de Gulden Snede verhouding.

Dat volgt direct uit het voorafgaande. Wel, als je dit nu verder uitwerkt, dan vind je dat :

= [ + ] / wortel(5)

Omdat beide driehoeken ook nog eens rechthoekig zijn geldt hiervoor de stelling van Pythagoras :

x = x + x

Als je de laatste twee vergelijkingen nu met elkaar combineert, dan is hieruit de lengte

van de hoogtelijn te berekenen voor een gegeven lengte van de zijde van de vijfhoek, en

tevens de afstand van het middelpunt tot de vijf hoekpunten en de zijden hiervan.

Onderstaand zie je hoe de vijfhoek is op te delen in tien even grote driehoekjes. Het totale

oppervlak ervan is kortom precies gelijk aan tien maal dat van elk driehoekje afzonderlijk :

Oppervlak = 10 x ( ½ x x ) = 5 x x

< < - - - - - - - - - - > >

Hoe construeer je precies een vijfhoek of pentagram? Wel, dat gaat heel eenvoudig in zijn werk.

Teken namelijk een vierkant ABCD met punt M midden tussen de punten A en B. Teken vervolgens

een cirkelboog om het punt M vanuit hoekpunt C naar punt E in het verlengde van de zijde AB.

De lijnstukken BE, AB en AE blijken zich dan netjes te verhouden volgens de Gulden Snede :

BE : AB = AB : AE = AB : ( BE + AB ) = ½ ( wortel(5) – 1 ) = j » 0,618034

" Het kleinste deel verhoudt zich tot het grootste deel als het grootste deel tot het geheel "

De lijnstukken AB en AE kun je direct gebruiken om een vijfhoek & pentagram te construeren,

met lengte AB als de lengte van de zijde van de vijfhoek en lengte AE als die van de diagonaal.

Wellicht vraag je je af, waarom de lijnstukken in de linker figuur voldoen aan de Gulden Snede.

Wanneer je dit plaatje nog eens tekent in ietwat aangepaste vorm dan zie je dat dat inderdaad

het geval is. Getekend is hier een halve cirkelboog met een daarin exact passend vierkant.

Omdat FE de middellijn is van de cirkel, geldt voor élk willekeurig punt X op de cirkelboog, dat

hoek FXE een rechte hoek is, of iets anders geformuleerd: de cirkel, waarvan FE de middellijn

is, is de verzameling van precies ál die punten X, waarvoor hoek FXE een rechte hoek is.

Dan is dus ook driehoek FCE hierboven een rechthoekige driehoek.

Het is niet zo moeilijk om te zien dat álle driehoeken in deze figuur dan gelijkvormig zijn.

Bovendien is de zijde AD = AG + GD van het vierkant even lang als elk van de andere zijden.

Voor alle te onderscheiden driehoeken ( te weten: FAG, CDG, CBE, FBC, FCE ), geldt dan

dat de lengtes van de zijden ervan zich tot elkaar verhouden volgens de Gulden Snede :

: = : [ + ]

: = : [ + ]

: = : [ + ]

Aardige is, dat deze tekening direct de mogelijkheid biedt om het zijvlak te construeren

van de Piramide van Cheops, een bouwwerk vol wiskundige eigenaardigheden.

Of de Egyptenaren werkelijk bekend waren met de Gulden Snede, is nog maar de vraag,

maar frappant is het wel, dat deze verhouding zo duidelijk herkenbaar is in de piramiden.

Onderstaand toon ik nog een aantal alternatieven om de Gulden Snede te construeren:

Hierin is : j ² + j º 1 è j ² : j = j : 1 = j : ( j ² + j )

< < - - - - - - - - - - > >

Door in een vijfhoek alle diagonalen in te tekenen, kun je deze opdelen in een zestal

kleinere vijfhoeken, en ook deze kun je vervolgens weer verder opdelen in nog kleinere

vijfhoekjes, zoals ik hieronder laat zien. Je kunt eventueel ook gewoon vijfhoekjes stapelen,

dat komt in feite op hetzelfde neer. Het levert in ieder geval wel erg mooie plaatjes op.

Voor meer gevorderden op wiskundig gebied nog een aardige hint m.b.t. dit soort tekeningen :

Wanneer je de hoekpunten van al deze kleine vijfhoekjes projecteert op de vijf assen van

symmetrie, dan zul je ontdekken dat daar dankzij de Gulden Snede een bepaald systeem in zit.

Ik verwijs hiervoor naar een pagina op deze site over vijf- en tienvoudige symmetrie >>>> !

Tot slot is het mogelijk om met behulp van vijfhoeken een regelmatig veelvlak te maken.

Dit veelvlak bestaat uit precies twaalf pentagonalen en men noemt dit een dodecaëder.

Ook dodecaëders kun je stapelen, net zoals je vijfhoekjes kunt stapelen in het platte vlak.

In verschillende aanzichten in 3D levert ook dat erg leuke en interessante plaatjes op:

Wil je dit stukje graag een keer afdrukken, gebruik hiervoor dan een aangepaste versie.

Je kunt dit Word 2000 document direct downloaden, opslaan en afdrukken >>>> !

Vorige pagina : Naar boven : E-mail :

Aantal bezoekers :