" Het zonnebloemmotief " , © Hans Bär, Amsterdam, 2004-2006


Laat ik beginnen met een korte omschrijving van de Gulden Snede en de reeks van Fibonacci,
dan vertel ik hoe deze twee begrippen tot uiting komen in bepaalde vormen in de levende natuur.

Voor de liefhebber op het gebied van de wiskunde wordt het zonnebloemmotief
nog wat uitgebreider en exacter beschreven op een aantal afzonderlijke pagina's.
Zoals dan blijkt is dit motief volledig te beschrijven m.b.v. de reeks van Fibonacci,
of incidenteel m.b.v. een reeks die daar sterk mee verwant is, de reeks van Lucas.
Het is een erg boeiende en leerzame analyse, waar ik met veel plezier aan heb gewerkt
>>> .

Wil je dit verhaal over de structuur van de zonnebloem graag een keer afdrukken of wordt
een en ander niet goed weergegeven, dan adviseer ik je om hiervan eerst even een aangepaste
versie - inclusief een aantal extra pagina's - te downloaden en op te slaan
>>> .

~~~ >>
"De Gulden Snede" << ~~~

De Gulden Snede is een opdeling van een lijnstuk of oppervlak of cirkel in twee ongelijke delen,
zodanig dat het kleinste deel zich verhoudt tot het grootste deel als het grootste deel tot het geheel.
Een verhouding die ongeveer gelijk is aan 0,382 : 0,618 = 0,618 : 1 = 1 : 1,618 = 1,618 : 2,618 .
De Gulden Snede zie je in diverse structuren terug en was al in de oudheid bekend ( Euclides, 300 v. Chr.)
Wiskundig gezien is het een begrip met hele karakteristieke en bijzondere eigenschappen.
Een meer algemene benaming voor de Gulden Snede is ook wel de "
Proportio Divina" of de "Sectio Aurea".

~~~ >>
"De Getallenreeks van Fibonacci" << ~~~

De reeks van Fibonacci is hier heel nauw mee verwant en is een verzameling van gehele getallen,
waarvoor geldt, dat ieder getal in de reeks telkens de som is van de twee voorafgaande getallen.
Het laatste geldt overigens óók voor de getallen hierboven, die de verhouding van de Gulden Snede bepalen.
De reeks van Fibonacci begint met de waarden 0 en 1 en hieruit volgen dan vanzelf de overige getallen:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 .....
Een bijzonder kenmerk van deze reeks is, dat - naarmate getallen groter worden -
opeenvolgende getallen zich meer en meer tot elkaar gaan verhouden volgens de "Gulden Snede" !
Een ander interessant gegeven is, dat je élk getal uit de reeks van Fibonacci kunt schrijven als een som
van twee dubbelprodukten van getallen uit diezelfde reeks, een gegeven, dat in de beschrijving
van het zonnebloemmotief en vergelijkbare vormen een bijzondere rol blijkt te spelen.
Dit determinatie-principe komt uitgebreid aan de orde in de wiskundige analyse.

~~~ >> "De Getallenreeks van Lucas" << ~~~

Behalve de reeks van Fibonacci voldoet ook de reeks van Lucas aan dezelfde eigenschap,
dat elk getal in de reeks steeds weer de som is van de twee voorafgaande getallen.
Alleen begint déze reeks nu niet met de waarden 0 en 1, maar met de waarden 2 en 1 .
Hieruit volgt dan voor de reeks van Lucas:
-2 , 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 , 76 , 123 .....

In de volksmond wordt de reeks van Fibonacci ook wel omschreven als:
"De Konijnenreeks " ,
wat
Marjolein Kool heeft geďnspireerd om daar een bijzonder gedichtje aan te wijden >>> !


 

 


Zowel de "Gulden Snede" als de "Reeks van Fibonacci" en incidenteel ook de "Reeks van Lucas"

zie je in heel veel vormen in de natuur terug, en dat is allesbehalve toeval,
maar het directe gevolg van hoe cellen delen en groeien en elkaar daarbij naar de periferie drukken.
Dat gebeurt op een zodanige wijze, dat deze cellen daarbij tezamen zo min mogelijk ruimte innemen.
Het is een voortdurend proces van het zich steeds weer opnieuw schikken van cellen t.o.v. elkaar,
en het krachtenspel tussen de cellen onderling bepaalt hoe dat gebeurt en welke vorm daar dan
uiteindelijk uit voortkomt. Elke cel volgt daarbij de weg van de minste weerstand, en dat wil zeggen,
dat dit hele proces van voortdurend herordenen gepaard gaat met een minimum verlies aan energie.





Bekijk voor de aardigheid eens hoe de pitten in deze zonnebloem keurig langs spiralen zijn geordend,
eigenlijk net zoals de ordening van schubben bij een dennenappel rondom spiraalsgewijs verloopt.
En ook hoe bepaalde cactussoorten zijn opgebouwd uit segmentjes, die ditzelfde patroon volgen.
Of hoe bladeren bij een aantal bloemen- en plantensoorten steeds weer onder eenzelfde vaste en
karakteristieke hoek van ongeveer 137,5 graden t.o.v. elkaar blijken te zijn verdraaid.
Een hoek die niet toevallig precies voldoet aan de Gulden Snede ( het kleinste deel van 360 gr).
Een wel erg vaak terugkerend motief dus. Het is dan ook de moeite waard om eens nader te bekijken
hoe dit motief tot stand komt, en wat maakt dat cellen zich op deze karakteristieke wijze schikken.


Wat zo bijzonder is, is dat met een dergelijke opeenvolgende schikking van bladeren (de fyllotaxis)
de lichtopbrengst voor een plant optimaal is, omdat bladeren steeds zodanig zijn gericht dat ze
zo min mogelijk in elkaars schaduw liggen en het invallende licht dan ook maximaal benutten.




© Andrew Ross, Cactus & Succulents Society of New Zealand


Al deze vormen worden gekenmerkt door eenzelfde en gemeenschappelijke ontstaanswijze.
Bovendien zie je bij een dennenappel en ook de ananas nog een ander interessant verschijnsel:
Wanneer je namelijk vanaf een bepaald punt het aantal schubben telt, in twee richtingen,
langs twee spiralen, de een linksom en de ander rechtsom, totdat beide elkaar weer snijden,
dan zie je dat dit steeds twee opeenvolgende getallen zijn uit de reeks van Fibonacci.

Dat is eigenlijk heel wonderlijk en ook allesbehalve toeval, zoals ik hierna nog zal laten zien.
Het is een heel karakteristiek patroon, waarin cellen of schubben zich spiraalsgewijs schikken en
ordenen. En het aardige is, dat je op grond van dit gegeven een manier kunt beschrijven, waarmee je
afzonderlijke schubben en cellen kan nummeren. Elke spiraal, linksom of rechtsom, wordt dan gekenmerkt
door een getal uit de reeks van Fibonacci, dat de nummerafstand bepaalt voor opeenvolgende cellen,
die tezamen een dergelijke spiraal vormen. Deze nummers hebben een hele concrete betekenis:
Ze bepalen de volgorde waarin cellen door deling zijn ontstaan. Hoe hoger het celnummer,
hoe ouder dus een cel, en hoe verder deze cel in het algemeen van de kern verwijderd ligt.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


In al deze vormen, de dennenappel, de zonnebloem, is telkens weer diezelfde structuur te herkennen.
Het is ongelooflijk mooi om te zien hoe een dergelijk patroon zomaar, als vanzelf, lijkt te ontstaan.

Heel kenmerkend in al deze vormen - met een spiraalstructuur gebaseerd op de reeks van Fibonacci -
is, dat van de drie jongste cellen in de kern van een grotere verzameling cellen de allerjongste cel
zodanig deelt, dat daarbij steeds de twee oudste cellen van dit drietal uit elkaar worden gedrukt.
Echter zijn hier wel variaties op mogelijk, zoals je ziet in een structuur waarin spiralen zijn gebaseerd
op de reeks van Lucas. In dat geval zie je dat de jongste cellen
(de primordia) zich dan op een ietwat
andere wijze schikken, en dat heeft waarschijnlijk te maken met de groeisnelheid van cellen in de kern.

Dit groeiproces in de kern wordt zeer fraai weergegeven op een aparte pagina >>>> !

Naarmate cellen a.g.v. het groei- en delingsproces geleidelijk aan steeds verder naar de periferie
worden gedrukt gaan deze als vanzelf ketens vormen en zich daarbij ordenen langs spiralen !
En dat gebeurt op een zodanige wijze, dat een zo klein mogelijk oppervlak wordt ingenomen
en de omtrek geleidelijk aan cirkelvormig wordt. Dit laat zich wiskundig redelijk goed beschrijven.
Als vanzelf ontstaat een patroon met die kenmerkende en bijzonder fraaie spiraalvormige structuur.





Om te laten zien hoe dit nu precies in zijn werk gaat, ga ik eerst eens uit van de dennenappel en de ananas
hierboven, want dan ontdek je al snel een aantal karakteristieke eigenaardigheden in dit motief. Tel namelijk
maar eens het aantal stappen linksom en rechtsom langs twee spiralen tot je weer op eenzelfde punt uitkomt :

Hiernaast zijn twee van die spiralen getekend,
hier van cel A naar cel B, en zoals je dan ziet:
8 stappen linksom en 5 rechtsom, maar dat had
wellicht ook een andere combinatie kunnen zijn.

De nummering laat ik nu bewust als volgt verlopen:
langs de ene spiraal linksom in 8 stappen van 5,
en langs de andere rechtsom in 5 stappen van 8.
Cel A grenst dan blijkbaar aan twee naburige cellen,
waarmee het in nummering - en dus in leeftijd -
verschilt volgens twee opeenvolgende getallen
( in dit geval: 5 en 8 ) uit de reeks van Fibonacci,
en dat is een erg interessant gegeven.

Als je dit plaatje goed bekijkt dan zie je bovendien
dat daarmee ook het aantal spiralen in beide draai-
richtingen vastligt. In dit voorbeeld kom je dan uit
op 5 spiralen met nummerafstand 5 linksom en
8 spiralen met nummerafstand 8 rechtsom!



Van dit gegeven kun je overigens direct gebruik maken om een stapelschema te definiëren voor cellen in
een raster, en dat is met name interessant wanneer cellen in een dergelijk raster niet dezelfde afmeting
hebben. Dat levert soms hele verrassende plaatjes op. Het principe hiervan is eigenlijk heel eenvoudig:

"Laat namelijk elke cel grenzen aan een tweetal jongere cellen, zodanig dat de nummerafstand
tot twee cellen telkens twee opeenvolgende getallen zijn uit de reeks van Fibonacci.
Ga daarbij dan wél steeds uit van een zo groot mogelijk nummerverschil, als je cellen
in oplopende nummervolgorde stapelt vanuit een gegeven middelpunt."

Zie onderstaand schema voor een voorbeeld hoe dit 'stapelen' precies in zijn werk gaat.
Wanneer je over Excel 2000 beschikt, dan vind je ditzelfde schema nog wat fraaier
en uitgebreider weergegeven in het
honingraat-bestand.

Neem in dit schema nu als voorbeeld eens cel
42, om te laten zien je dit precies aanpakt.
De twee grootste getallen in de reeks van Fibonacci kleiner dan of gelijk aan
42 zijn 34 en 21.
En dat betekent, dat cel
42 in principe zou kunnen grenzen aan cellen (42-34) en (42-21),
dat zijn hier de cellen met nummers
8 en 21, maar die plek is zoals je ziet al bezet door cel 29.
Neem daarom in plaats van de getallen
34 en 21 uit de reeks van Fibonacci de getallen 21 en 13,
wat inhoudt dat cel
42 dan mogelijk grenst aan de cellen met de nummers (42-21) en (42-13),
dat zijn nu dus de twee cellen
21 en 29, en zoals je ziet is die plek hier wél vrij.
Zo doe je dat in oplopende volgorde voor elke cel. Al met al een erg eenvoudig principe.


Voorbeeld van een stapelschema in een honingraat gebaseerd op de reeks van Fibonacci

                                                   
           

81

68

55

42

50

71

         
                   
         

60

47

34

21

29

37

58

       
               
       

52

39

26

13

8

16

24

45

     
           
     

65

31

18

5

0

3

11

32

53

   
       
   

78

44

23

10

2

1

6

19

40

74

 
   
     

57

36

15

7

4

9

14

27

61

   
       
       

49

28

20

12

17

22

35

48

     
           
         

62

41

33

25

30

43

56

       
               
           

75

54

46

38

51

64

         
                   


Voor cel 2 zijn er in dit schema in principe twee keuzemogelijkheden, zoals je ziet.
Maar dat terzijde, dát heeft namelijk alleen gevolgen voor de draairichting van spiralen.
Je vindt op deze wijze voor élke cel in ieder geval precies één eigen specifieke plek,
En daaruit ontstaat dan vanzelf een raster zoals dat hierboven is weergegeven,
ongeacht of cellen nu wél of niet even groot zijn, en ongeacht of dat nu gebeurt
in een plat vlak of langs een gebogen/gekromd oppervlak of cilindervormig oppervlak.
De mate waarin cellen groeien of krimpen, én de vorm van het vlak, bepalen
uiteindelijk hoe het stapelschema er dan voor die specifieke vorm uit zal zien.

A.g.v. de celdeling in de kern en het groeiproces van binnenuit bewegen de oudere cellen
verder en verder naar de periferie én uit elkaar en dat gaat gepaard met een voortdurende
herschikking van cellen t.o.v. elkaar langs telkens weer andere spiralen. Cellen krijgen a.h.w.
voortdurend nieuwe buren, en verschillen daarmee in celnummer met een steeds groter getal.

Kenmerkend is dat nummers van opeenvolgende cellen die tezamen een spiraal vormen steeds met
eenzélfde getal toenemen, en wel met een getal uit de reeks van Fibonacci, en spiralen verlopen
daarbij om en om linksom en rechtsom. Telkens treden weer andere spiralen op de voorgrond,
omdat de oorspronkelijke spiralen naar buiten toe dan zó vlak gaan verlopen, dat het contact daarbij
wordt verbroken tussen de cellen die deze keten of spiraal aanvankelijk nog vormden, en dit om de
eenvoudige reden dat cellen zich nu eenmaal over een steeds grotere omtrek moeten verspreiden.
Onderstaand zie je een voorbeeld hoe cellen in het centrale deel van de zonnebloem zijn geordend.
Wanneer je in deze figuur de nummers van aan elkaar grenzende cellen met elkaar vergelijkt
dan valt op dat de verschillen inderdaad steeds weer getallen zijn uit de reeks van Fibonacci.
En niet alleen dat, je ziet dat dat ook steeds twee opeenvolgende getallen zijn .




51k 38k


Wat óók opvalt, is dat de hoek, waaronder cellen met opeenvolgende nummers ten opzichte van de kern
zijn gepositioneerd, geleidelijk aan naar de hoek van de Gulden Snede gaat, een hoek van 137,5 graden !
Stel je nu eens voor dat dit een dwarsdoorsnede zou zijn van een steel en dat bladeren aan die steel
opeenvolgend ontspringen/ontstaan uit de meest aan de periferie gelegen cellen, dan wordt eigenlijk ook
meteen duidelijk waarom deze dan steeds onder die karakteristieke hoek t.o.v. elkaar zijn verdraaid.
Ook een dennenappel bestaat uit een centrale steel, vanwaaruit bladeren/schubben exact op deze wijze
aftakken. Deze vormen hebben zoals je ziet dus alle een gemeenschappelijke structuur en ontstaanswijze.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Zoals gezegd is het aantal spiralen van een bepaald type altijd gelijk aan de onderlinge nummerafstand
tussen de cellen, d.w.z. : 5 spiralen linksom met een stapgrootte van 5 in opeenvolgende celnummers,
8 spiralen rechtsom met een stapgrootte van 8 in opeenvolgende celnummers,
13 spiralen linksom met een stapgrootte van 13 in opeenvolgende celnummers, enzovoorts.
In geval van een vorm gebaseerd op de reeks van Lucas zijn dit vanzelfsprekend andere getallen.


Dit gegeven herhaalt zich om en om, linksom en
rechtsom, voor elk kental uit de reeks van Fibonacci.

Wanneer je in deze figuur langs de contour het
aantal spiralen telt in de twee draairichtingen, dan
kom je in dit geval uit op precies 55 spiralen linksom
en 34 rechtsom. En de buitencontour zélf bestaat
uit exact 89 cellen, de som hiervan. Dit is dan tevens
het aantal van een eventueel nieuw type spiraal.

Met een nog wat groter aantal cellen krijg je een
tweetal schitterende plaatjes met een ordening
volgens Fibonacci :
..en volgens..Lucas :



Fibonacci-getallen zie je op hun beurt óók terug in het aantal blaadjes bij bepaalde bloemen:
Zo heeft de lelie bijvoorbeeld drie bloemblaadjes, het boterbloempje & de geranium vijf,
de ridderspoor acht, de goudsbloem dertien, de aster eenentwintig en madeliefjes vierendertig,
vijfenvijftig of zelfs negenentachtig. (zie: "Het Magisch Labyrint" van de schrijver Ian Stewart)


Dé kernvraag in dit verhaal is natuurlijk :

Waarom toch precies die karakteristieke aantallen volgens de reeks van Fibonacci ( en incidenteel
de reeks van Lucas ) Wat maakt, dat deze reeks in dit motief zo prominent tot uitdrukking komt?

Wel, het antwoord op die vraag is eigenlijk heel eenvoudig:

Omdat spiralen naar buiten toe steeds vlakker verlopen, zie je dat cellen zich voortdurend
zullen schikken langs andere spiralen met een grotere nummerafstand tussen cellen onderling.
Op een overgang van het ene spiraalstelsel naar het andere eindigt daarbij de vlakst
verlopende spiraal en gaat deze over in een nieuw type spiraal.

Op het moment namelijk, dat twee spiralen - hier even
weergegeven als de zijden van een ruitje - met elkaar
een hoek maken van 120 graden, komen cellen ook langs
een van de diagonalen hiervan met elkaar in aanraking.
Het is dan ook meteen duidelijk, waarom een dergelijk
ruitje eenvoudig niet verder meer is af te vlakken.

Een nieuwe spiraal zal vanaf dat moment samenvallen
met de getekende diagonaal en de andere spiraal met
de steilst verlopende zijde van dit ruitje, en deze
vormen tezamen dan vanzelf weer nieuwe ruitjes.

Vanaf dit moment begint dus een nieuw type spiraal, die de hoek van 120 graden precies in
tweeën deelt. Vanaf de overgang van het ene spiraalstelsel naar het andere bepalen de steilst
verlopende van de twee spiralen én het nieuwe type spiraal kortom het nieuwe stelsel, en
daarbij verlopen deze spiralen in eerste instantie onderling onder een hoek van 60 graden.
Dit komt goed tot uiting in een hierna nog te tekenen figuur en de spiraalstructuren hierboven.

Wat hierin nu zo karakteristiek is, is dat het aantal spiralen van een nieuw type altijd
exact gelijk is aan de som van het aantal spiralen van de twee voorafgaande typen !
En dat is nou bij uitstek dé eigenschap van de reeks van Fibonacci.
Dát is dus waarom deze reeks zo uitdrukkelijk tot uiting komt in dit motief !
En dit gaat evenzeer op voor een model dat is gebaseerd op de reeks van Lucas.

Ook voor de nummerafstand tussen cellen onderling langs een nieuw type spiraal geldt,
dat dit steeds de som is van de celnummerafstanden langs de twee oorspronkelijke spiralen.

Er is dus niets mysterieus aan: cellen ordenen zich dankzij dít gegeven vanzelf volgens dit patroon.
En omdat opeenvolgende getallen uit beide reeksen zich nu eenmaal geleidelijk aan steeds meer
tot elkaar gaan verhouden volgens de
Gulden Snede, is het ook niet verwonderlijk dat
juist de Gulden Snede in deze typische structuur zo duidelijk tot uiting komt.


Ook langs gekromde oppervlakken schikken cellen, schubben en pitten zich op een zelfde wijze,
zoals o.a. bij deze cactus goed is te zien.




© Dror Bar - Natan, University of Toronto, Canada


Onderstaande figuurtjes, de een getekend in bovenaanzicht en de ander in zijaanzicht,
zijn hier een aardig voorbeeld van. In bovenaanzicht komt het patroon netjes overeen met
de ordening van cellen zoals in de zonnebloem, en in zijaanzicht levert dat dan niet toevallig
een vergelijkbaar patroon op zoals je ziet bij de dennenappel, de ananas en de cactus hierboven.




~~~ >> ~~~~~~~~~~ << ~~~ ~~~~ ~~~ >> ~~~~~~~~~~ << ~~~

A.h.v. onderstaande figuur laat ik nog eens zien hoe cellen zich telkens opnieuw ordenen, wanneer
deze zich naar buiten toe over een steeds grotere omtrek verspreiden. Dat is hier weergegeven
als een uitrekking in de horizontale ( tangentiële ) richting. Omdat het totale oppervlak,
dat deze cellen gezamenlijk innemen, hierbij in principe niet verandert - even afgezien dan van
eventuele groei of krimp - gaat dat in verticale ( radiale ) richting gepaard met een samentrekking.




Zijn aanvankelijk cellen A, B, C en D nog geordend in een vierkant, na samentrekking in verticale
en uitrekking in horizontale richting zijn dit vervolgens de cellen B, C, D en E.
.In eerste instantie
vallen de twee actuele spiralen nog samen met de zijden van het oorspronkelijke vierkant en verlopen
derhalve in de richtingen BA en BC.
.Dit vierkant vervormt echter geleidelijk aan tot een ruit met
een maximale hoek van 120 graden. Op dat moment wordt de spiraal in de richting BA overgenomen
door een nieuw type spiraal, en wel in de richting van de diagonaal BD van het oorspronkelijke vierkant.

Bij verdergaande vervorming worden achtereenvolgens de spiralen in de richtingen BC en BD
op hun beurt overgenomen door nieuwe spiralen in de richtingen BE en BF, en dat patroon blijft zich
om en om herhalen, naarmate cellen a.g.v. het groeiproces verder en verder naar buiten worden gedrukt.
Wanneer de nummerafstanden tussen cellen onderling langs de oorspronkelijke spiralen nu twee opeen-
volgende getallen zijn uit de reeks van Fibonacci - hier als voorbeeld linksom in de richting BA
+5 en
rechtsom in de richting BC
+8, dan is de celnummerafstand langs de diagonaal BD kortom gelijk aan +13,
en in de richtingen BE resp. BF aan
+21 en +34. Blijkbaar zijn de celnummerafstanden langs de twee
actuele spiralen ook na voortgaande vervorming telkens weer twee opeenvolgende getallen uit de reeks
van Fibonacci. En daarbij verloopt de steilste spiraal zoals je ziet afwisselend rechtsom en linksom.





Hoe de spiralen in het zonnebloemmodel precies verlopen, en waar ze in elkaar overgaan, is in deze
tekening weergegeven, met M hier als middelpunt van het model. Als je een en ander wiskundig uitwerkt
dan blijken alle spiralen - in dit model althans - te bestaan uit zuivere cirkelbogen, met een straal die
steeds gelijk is aan de zijde van de aangrenzende driehoek. De diverse driehoeken zijn alle gelijkzijdig
en verhouden zich in grootte tot elkaar volgens de reeks van Fibonacci. Op elke overgang gaat de vlakst
verlopende spiraal vanzelf over in een nieuwe en steiler verlopende spiraal. Je ziet, dat dat precies het
geval is, wanneer twee oude spiralen onder een hoek van 120 graden t.o.v. elkaar verlopen, en tevens zie
je dat elke nieuwe spiraal op een overgang een hoek maakt van 60 graden met de doorlopende spiraal.
En kenmerkend is dat alle spiralen daarbij dus steeds in tegengestelde draairichting verlopen.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ik hoop dat ik hiermee althans enigszins heb kunnen verhelderen waarom de reeks van Fibonacci en
de Gulden Snede zo'n prominente rol spelen in het ontstaan van die karakteristieke structuur in het
zonnebloemmotief en in vergelijkbare vormen in de levende natuur. Het mag duidelijk zijn dat de
wijze waarop cellen delen en groeien, behalve door omgevingsfactoren, in grote lijnen zal worden
bepaald door het genetisch materiaal. Welke vorm daar dan uiteindelijk uit voortkomt, hangt direct
samen met de wijze waarop de celdeling verloopt en de snelheid waarmee cellen volgroeien. En het
krachtenspel tussen de cellen onderling bepaalt dan hoe deze daarbij t.o.v. elkaar worden geordend.

Bij bepaalde cactussoorten zie je overigens een overeenkomstig patroon, waarbij het omhulsel is
opgebouwd uit segmenten, die veelal op eenzelfde wijze zijn geordend langs spiralen. De ontstaans-
wijze is in dat geval gebaseerd op plooiing van het omhulsel rond de top tijdens het groeiproces.
Ook nu zijn het de onderlinge krachten en interactie die bepalen hoe deze plooiingen/segmenten
worden geordend, exact zoals dat het geval is bij elkaar verdringende cellen in een zonnebloem.
Er bestaan veel varianten op dit thema, die aanzienlijk ingewikkelder zijn dan hier beschreven.
Om mijn verhaal niet onnodig ingewikkeld te maken, zal ik er hier niet dieper op ingaan (zie afb.)




© Patrick Shipman, University of Arizona


~~~ >> ~~~~~ << ~~~ ~~~~~~~ ~~~ >> ~~~~~ << ~~~

Een totaal andere en minstens zo interessante gedachtengang is de volgende:

Stel, je hebt een structuur, die bestaat uit een honderdtal cellen, ik noem even een aantal.
Als nu de jongste cel in de kern deelt, in een richting waarbij het de minste weerstand ondervindt,
en deze nieuwe cel vervolgens uitgroeit tot deze even groot is als de oorspronkelijke cel in de
beginsituatie, en je daarbij de oudste cel aan de periferie nu even buiten beschouwing laat, dan
heb je - na één volledige groeicyclus - wederom een vorm bestaande uit eenzelfde aantal cellen.
Neem nu eens aan, dat de mate van groei of krimp van elke cel wordt bepaald door de leeftijd.
De redenering is dan, dat deze nieuwe vorm van 100 cellen ( minus de oudste cel dus )
in principe "
congruent " zou moeten zijn aan de oorspronkelijke vorm van 100 cellen.
Interessant is dan om uit te zoeken over welke hoek je deze nieuwe vorm precies moet kantelen
t.o.v. de oorspronkelijke vorm om beide vormen zo goed mogelijk met elkaar te laten samenvallen.
Wel, als je dat nu wiskundig uitwerkt, bijvoorbeeld voor het eerder beschreven honingraatraster,
dan blijkt dat deze hoek netjes naar de '
Gulden Hoek ' gaat, een hoek dus van 137,5 graden.
Dit '
congruentieprincipe ' komt zeer goed tot zijn recht op de eerder genoemde pagina,
waarop de groeicyclus in de kern van de zonnebloem wordt weergegeven
>>>> !




© Andrew Ross, Cactus & Succulents Society of New Zealand


Blijkbaar ontstaat bij déze hoek een zodanig effectieve schikking en ordening van cellen, dat
deze gezamenlijk een zo klein mogelijk oppervlak innemen met een zo klein mogelijke omtrek.
Feit is, dat bij een hoek van 137,5 graden tussen opeenvolgende cellen gemeten t.o.v. de kern
cellen nagenoeg perfect op elkaar aansluiten. Of ietwat anders geformuleerd: Iedere oudere
cel bezet dan precies steeds díe lege plek, die nog het dichtst bij de kern ligt. Als je hier op
doorredeneert, dan is niet moeilijk in te zien, dat opeenvolgende bladeren aan een stengel, die
t.o.v. elkaar zijn verdraaid over deze hoek van 137,5 graden, het invallende licht van bovenaf
daadwerkelijk maximaal benutten. Elk blad ontspringt zodanig, dat het vanuit de kern gezien
de meeste open plek inneemt, waar het dan vanzelfsprekend ook het meeste licht opvangt,
Geen enkel blad ontspringt in eenzelfde richting als welk ander blad ook. En niet voor niets
noemt men daarom het getal van de Gulden Snede ook wel eens '
het meest irrationale getal '.
Onderstaand zie je hoe effectief een dergelijke schikking van bladeren is. De beschikbare
"
lichtruimte " wordt op deze wijze optimaal benut, er gaat werkelijk geen plekje verloren.


 

 



Het is boeiend om te zien, hoe patronen zoals beschreven a.h.w. als vanzelf ontstaan,
simpelweg a.g.v. de wijze waarop cellen in de kern delen en groeien en elkaar daarbij
uiteen en naar buiten drukken. Een mooi voorbeeld hiervan is de middelste figuur, waarin
cellen - hier dan weliswaar fictief - naar buiten toe geleidelijk aan in grootte toenemen
en waarin deze in oplopende volgorde zijn gestapeld op de eerder beschreven wijze.
Zijn cellen aanvankelijk nog netjes geordend in een honingraatpatroon, naar de periferie
toe zie je dit patroon als vanzelf overgaan in die zo karakteristieke en schitterende
spiraalvormige structuur. Ook hier gaat de gemiddelde kantelhoek van cellen geleidelijk
aan netjes naar de '
Gulden Hoek '. Om precies te zijn bedraagt die hier 137,5036 graden !
In de figuur rechts zie je voorts nog een denkbeeldige situatie, waarin de afmeting van
cellen evenredig is met de afstand ervan tot de kern, en spiralen onafgebroken verlopen.

De 'National Gallery of Australia' wordt gesierd door een zo ongelooflijk mooi kunstwerk,
gebaseerd op ditzelfde thema, dat ik het niet kan laten om het hier toch even te noemen.
Een werkelijk prachtige sculptuur van
Matthew Harding getiteld "Phyllotaxis ".




© Matthew Harding, National Gallery of Australia


<< ~~~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~~~ >>

In het merendeel van de zonnebloemen - pakweg 92 % - zien we dat pitten spiraalsgewijs geordend
zijn volgens de reeks van Fibonacci. Echter bestaan er zoals gezegd op dit motief verschillende
varianten waarin cellen/pitten blijkbaar afwijkend zijn geordend volgens
"de Reeks van Lucas ".

Vraag is natuurlijk hoe dit afwijkende patroon precies ontstaat? Het heeft in ieder geval te maken
met het gegeven hoe cellen in de kern elkaar tijdens het delingsproces uiteendrukken en dat wordt
mogelijk mede bepaald door de snelheid, waarmee cellen in de kern hun volle omvang bereiken.
In principe ordenen cellen zich op een zodanige wijze, dat dat steeds gepaard gaat met zo min
mogelijk energieverlies, en dat wil zeggen dat een nieuwe cel zich als vanzelf daar nestelt en
uitgroeit in een richting, waarin het de minste weerstand ondervindt van de omringende cellen.
Eenmaal in gang gezet verloopt het proces van celdeling blijkbaar op een zódanige wijze dat het
zichzelf blijft herhalen. Anders gezegd: met behoud dus van de oorspronkelijke spiraalstructuur !

De volgende twee figuren laten voor beide varianten de opbouw zien in de kern van de zonnebloem.
In de linker figuur zie je hoe kerncellen - de primordia -zijn geordend in een model volgens Fibonacci,
en in de figuur rechts is weergegeven hoe dat er dan precies uit ziet in een variant volgens Lucas.
Jongere cellen vullen de lege ruimte in de kern steeds zodanig op, dat er na één volledige groeicyclus
én na draaiing van de figuur daadwerkelijk sprake is van congruentie: cellen zijn dan na een
volledige cyclus exact weer hetzelfde geordend als in de oorspronkelijke situatie.




Fibonacci-variant



Lucas-variant


Karakteristiek is, dat een nieuwe cel in de variant van Lucas niet zozeer de twee oudste
cellen van het drietal jongste cellen uiteen drukt, maar veeleer de jongste en oudste van de drie.
Dit gegeven leidt blijkbaar tot een andere ordening van cellen en een afwijkende structuur.
Beide varianten zijn niet zó gemakkelijk van elkaar te onderscheiden. Het verschil zit hem in het
aantal spiralen linksom en rechtsom: dat zijn in de variant van Lucas dus geen getallen uit de reeks
van Fibonacci, maar uit de reeks van Lucas, en bovendien zijn opeenvolgende cellen in dit motief
gemiddeld niet over een hoek van 137,5 graden t.o.v. elkaar verdraaid, maar over 99,5 graden !
Wanneer je cellen in oplopende nummervolgorde langsloopt, dan valt het verschil onmiddellijk op.


Voldoet een hoek van 137,5 graden hierin exact aan de Gulden Snede: 137,5o : 222,5o = 1 : 1,618,
een hoek van 99,5 graden volgt zoals je ziet een iets andere verhouding:
99,5o : 260,5o = 1 : 2,618.
Maar het mag duidelijk zijn dat de Gulden Snede ook in deze laatste hoek terdege te herkennen is.

Evenzo ziet een stapelschema er voor deze twee varianten op het zonnebloemmotief niet hetzelfde uit:
links zie je het schema volgens de reeks van Fibonacci & rechts het schema volgens de reeks van Lucas.

                                         
       

9

6

     

8

12

       
     

4

1

3

   

4

1

5

     
   

7

2

0

8

-------

11

0

2

9

   
   

10

5

13

   

7

3

6

   
     

18

26

     

14

10

     



A.h.v. een tweetal figuren laat ik tot slot nog zien hoe de celdeling in de kern precies verloopt,
want dat komt in de figuren hiervoor, waarin cellen eigenlijk al zo goed als volgroeid zijn, niet
echt goed tot zijn recht. Het blijkt wiskundig een erg lastige opgave om deze fase van celdeling
en groei en met name de overgang ervan naar de spiraalstructuur goed te beschrijven.
Toch zijn in de twee tekeningen - zij het met enige moeite - al de eerste spiralen te herkennen,
precies zoals hiervoor beschreven. Het karakteristieke onderscheid bestaat er zoals gezegd in,
dat een nieuwe cel in het Fibonacci-model altijd de oudste twee van een drietal cellen uiteen drukt,
terwijl in het Lucas-model de oudste en de jongste van dit drietal cellen uit elkaar worden gedrukt.
Dát bepaalt uiteindelijk welke variant ontstaat. Bovendien zie je dat ook nu de divergentiehoek,
d.i. de hoek waaronder opeenvolgende cellen t.o.v. de kern zijn gekanteld, in het ene model
om en nabij gelijk is aan 137,5 graden en in het andere model aan 99,5 graden.
Zijn cellen eenmaal wat meer volgroeid, dan ontstaat vanzelf de bekende spiraalstructuur.

Strikt genomen verloopt het proces van deling en groei in en rond de kern iets ingewikkelder.
Primordia ontstaan niet zozeer in één centraal punt, maar veeleer in een ringvormige zone rond
een top of kerngebied. Een nadere analyse laat zien dat dit groei- & delingsproces ook tot een
andere ordening van cellen en bladeren kan leiden. Er zijn drie basisvormen te onderscheiden
waarop bladeren zich kunnen ordenen (de phyllotaxis) : om-en-om, kransvormig en spiraalsgewijs.
Wie geďnteresseerd is wijs ik graag nog op twee eerder gepubliceerde artikelen, een van de hand

van Lennart de Nooijer getiteld: "Buitenaardse blik op evolutie herzien " en het andere geschreven
door Dr.ir. Frank van der Linden onder de titel: "
Bouw van planten ". In dit artikel beschrijft van
der Linden het biologische groei- & delingsproces & de phyllotaxis nog aanzienlijk genuanceerder.



Fibonacci-motief

Lucas-motief


~~~ >>
~~~~~~~~~~~ << ~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~ >> ~~~~~~~~~~~~ << ~~~


In de natuur zie je eindeloos veel onvoorstelbaar mooie patronen en structuren,
in een variëteit en schoonheid, waar je alleen maar met verwondering naar kunt kijken.
Dat dat zomaar kan ontstaan, er zomaar kan en mag zijn.
Ik vind dat ongelooflijk mooi en boeiend.


~~~ >>
~~~~~~~~~~~ << ~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~ >> ~~~~~~~~~~~~ << ~~~


Wie zich nog eens grondig zou willen verdiepen in de wiskundige achtergrond van dit motief
en kennis wil maken met de eigenaardigheden van de Gulden Snede en de reeks van Fibonacci,
verwijs ik nogmaals van harte naar een uitgebreide analyse van het zonnebloemmotief:
>>> .

Van recenter datum bovendien nog een stuk over het zogeheten '
van Iterson diagram ',
in Word-formaat en voorzien van een heldere uitleg en een wiskundige beschrijving:
>>> .

Een erg fraaie Engelstalige site met uitgebreide informatie over dit onderwerp vind je op:
http://maven.smith.edu/~phyllo/ ---ik kan je een bezoek aan deze site beslist aanbevelen !

Heb je deze pagina direct bezocht en niet via de homepage, dan nodig ik je graag uit om
ook zeker eens een kijkje te nemen in de Tekengalerij, waarin ik een aantal tekeningen heb
ondergebracht die ik de afgelopen jaren heb gemaakt ( zie: members.chello.nl/~jlmbar ).




Terug naar vorige pagina : Terug naar boven : E-mail naar :  


Aantal bezoekers :Free Web Page Hit Counters Webstats4U - Gratis web site statistieken